Решебник по геометрии 8 класс Мерзляк Задание 465

\[Схематический\ рисунок.\]

\[Дано:\]

\[\mathrm{\Delta}ABC\sim\mathrm{\Delta}A_{1}B_{1}C_{1};\]

\[BD - биссектриса\ \angle B;\]

\[B_{1}D_{1} - биссектриса\ \angle B_{1}.\]

\[Доказать:\]

\[\frac{\text{BD}}{B_{1}D_{1}} = \frac{\text{AB}}{A_{1}B_{1}}.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ \mathrm{\Delta}ABC\sim\mathrm{\Delta}A_{1}B_{1}C_{1}:\]

\[\angle B = \angle B_{1};\ \ \]

\[\angle A = \angle A_{1}.\]

\[2)\ \mathrm{\Delta}ABD\sim\mathrm{\Delta}A_{1}B_{1}D_{1} - первый\ \]

\[признак:\]

\[\angle BAD = \angle B_{1}A_{1}D_{1};\]

\[\angle ABD = \frac{1}{2}\angle B =\]

\[= \frac{1}{2}\angle B_{1} = \angle A_{1}B_{1}D_{1}.\]

\[Отсюда:\]

\[\frac{\text{BD}}{B_{1}D_{1}} = \frac{\text{AB}}{A_{1}B_{1}} = \frac{\text{BC}}{B_{1}C_{1}} = \frac{\text{AC}}{A_{1}C_{1}}.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]