Решебник по геометрии 8 класс Мерзляк Задание 444

\[Схематический\ рисунок.\]

\[Дано:\]

\[\angle ABC = 120{^\circ};\]

\[AB = 8\ см;\]

\[BC = 12\ см;\]

\[BD - биссектриса\ \angle B.\]

\[Найти:\]

\[\text{BD.}\]

\[Решение.\]

\[1)\ Проведем\ прямую:\]

\[AE \parallel BD;\ \ \ \]

\[AE \cap BC = E.\]

\[2)\ Для\ \text{AE\ }и\ \text{BD\ }и\ секущей\ AB:\]

\[\angle EAB = \angle ABD = \frac{1}{2}\angle B = 60{^\circ}.\]

\[3)\ \mathrm{\Delta}EBA - равносторонний:\]

\[\angle EBA = 180{^\circ} - \angle ABC = 60{^\circ};\]

\[\angle AEB = 180{^\circ} - 60{^\circ} - 60{^\circ} = 60{^\circ};\]

\[\angle EBA = \angle EAB = \angle AEB.\]

\[Отсюда:\]

\[EB = AE = AB = 8\ см.\]

\[4)\ \mathrm{\Delta}AEC\sim\mathrm{\Delta}DBC:\]

\[BD \parallel AE.\]

\[Значит:\]

\[EC = EB + BC = 20\ см.\]

\[5)\ \frac{\text{BD}}{\text{AE}} = \frac{\text{BC}}{\text{EC}}\text{\ \ \ }\]

\[\frac{\text{BD}}{8} = \frac{12}{20}\text{\ \ \ }\]

\[BD = 4,8\ см.\]

\[Ответ:\ \ 4,8\ см.\]