Решебник по геометрии 8 класс Мерзляк Задание 443

\[Схематический\ рисунок.\]

\[Дано:\]

\[\mathrm{\Delta}ABC - равнобедренный;\]

\[O - центр\ впис.\ окружности;\]

\[AC = 12\ см;\]

\[AB = 18\ см;\]

\[E - точка\ касания;\]

\[F - точка\ касания.\]

\[Найти:\]

\[\text{EF.}\]

\[Решение.\]

\[1)\ Проведем\ высоту:\]

\[BH\bot AC.\]

\[2)\ \mathrm{\Delta}ABC - \ равнобедренный:\]

\[AB = BC.\]

\[BH - высота\ и\ медиана:\]

\[AH = CH = \frac{1}{2}AC = 6\ см.\]

\[BH - высота\ и\ биссектриса:\]

\[\angle ABH = \angle CBH;\ \ \ \]

\[O \in BH.\]

\[3)\ Окружность:\]

\[AE = AH = 6\ см;\ \ \]

\[CF = CH = 6\ см;\]

\[BE = BF = AB - AE = 12\ см.\]

\[4)\ \mathrm{\Delta}EBF - равнобедренный:\]

\[BE = BF.\]

\[BH - биссектриса\ и\ высота:\]

\[BH\bot EF.\]

\[5)\ \mathrm{\Delta}EBF\sim\mathrm{\Delta}ABC:\]

\[EF\bot BH;\ \ \ \]

\[AC\bot BH;\]

\[EF \parallel AC.\]

\[6)\ \frac{\text{EF}}{\text{AC}} = \frac{\text{EB}}{\text{AB}} = \frac{2}{3}\text{\ \ \ }\]

\[EF = \frac{2}{3}AC = 8\ см.\]

\[Ответ:\ \ 8\ см.\]