Решебник по геометрии 8 класс Мерзляк Задание 419

\[Схематический\ рисунок.\]

\[Дано:\]

\[BD - биссектриса\ \angle CBF.\]

\[Доказать:\]

\[AB\ :BC = AD\ :CD.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ Проведем\ прямую:\]

\[CE \parallel BD;\ \ \ \]

\[CE \cap AB = E.\]

\[2)\ Для\ \text{BD\ }и\ \text{CE\ }и\ секущей\ BC:\]

\[\angle ECB = \angle DBC = \frac{1}{2}\angle CBF.\]

\[3)\ Для\ \text{BD\ }и\ \text{CE\ }и\ секущей\ AF:\]

\[\angle CEB = \angle DBF = \frac{1}{2}\angle CBF.\]

\[4)\ \mathrm{\Delta}CBE - равнобедренный:\]

\[\angle ECB = \frac{1}{2}\angle CBF = \angle CEB.\]

\[Отсюда:\]

\[BE = BC.\]

\[5)\ По\ теореме\ Фалеса:\]

\[\frac{\text{AB}}{\text{AD}} = \frac{\text{BE}}{\text{CD}};\ \ \ \]

\[\frac{\text{AB}}{\text{AD}} = \frac{\text{BC}}{\text{CD}};\ \ \ \]

\[\frac{\text{AB}}{\text{BC}} = \frac{\text{AD}}{\text{CD}}.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]