Решебник по геометрии 8 класс Мерзляк Задание 419

$$Схематическийрисунок.$$

$$Дано:$$

$$BD-биссектриса\mathrm{\angle }CBF.$$

$$Доказать:$$

$$AB:BC=AD:CD.$$

$$Доказательство.$$

$$1)Проведемпрямую:$$

$$CE\parallel BD;$$

$$CE\cap AB=E.$$

$$2)Для\text{BD }и\text{CE }исекущейBC:$$

$$\mathrm{\angle }ECB=\mathrm{\angle }DBC=\frac{1}{2}\mathrm{\angle }CBF.$$

$$3)Для\text{BD }и\text{CE }исекущейAF:$$

$$\mathrm{\angle }CEB=\mathrm{\angle }DBF=\frac{1}{2}\mathrm{\angle }CBF.$$

$$4)\mathrm{\Delta }CBE-равнобедренный:$$

$$\mathrm{\angle }ECB=\frac{1}{2}\mathrm{\angle }CBF=\mathrm{\angle }CEB.$$

$$Отсюда:$$

$$BE=BC.$$

$$5)ПотеоремеФалеса:$$

$$\frac{\text{AB}}{\text{AD}}=\frac{\text{BE}}{\text{CD}};$$

$$\frac{\text{AB}}{\text{AD}}=\frac{\text{BC}}{\text{CD}};$$

$$\frac{\text{AB}}{\text{BC}}=\frac{\text{AD}}{\text{CD}}.$$

$$Чтоитребовалосьдоказать.$$