Решебник по геометрии 8 класс Мерзляк Задание 401

\[Схематический\ рисунок.\]

\[Дано:\]

\[AE - медиана;\]

\[CF - медиана;\]

\[AE = CF.\]

\[Доказать:\]

\[\mathrm{\Delta}ABC - равнобедренный.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ В\ \mathrm{\Delta}ABC:\]

\[AO\ :OE = 2\ :1\ \ \ \]

\[AO = 2OE.\]

\[CO\ :OF = 2\ :1\ \ \ \]

\[CO = 2OF.\]

\[AE = AO + OE = 3OE;\]

\[CF = CO + OF = 3OF;\]

\[OE = OF;\ \ \ \]

\[AO = CO.\]

\[2)\ \mathrm{\Delta}AOF = \mathrm{\Delta}COE - первый\ \]

\[признак:\]

\[\angle AOF = \angle COE - вертикальные.\]

\[Отсюда:\]

\[\angle FAO = \angle ECO.\]

\[3)\ \mathrm{\Delta}AOC - равнобедренный:\]

\[\angle OAC = \angle OCA.\]

\[4)\ \mathrm{\Delta}ABC - равнобедренный:\]

\[\angle BAC = \angle FAO + \angle OAC;\]

\[\angle BCA = \angle ECO + \angle OCA;\]

\[\angle BAC = \angle BCA.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]