Решебник по геометрии 8 класс Мерзляк Задание 390

\[Схематический\ рисунок.\]

\[Дано:\]

\[AD - медиана;\]

\[BE - высота;\]

\[DF\bot AC;\]

\[AB = BC;\]

\[AC = 8\ см;\]

\[BE = 12\ см.\]

\[Найти:\]

\[DF;\ \angle ADF.\]

\[Решение.\]

\[1)\ \mathrm{\Delta}ABC - \ равнобедренный:\]

\[BE - высота\ и\ медиана;\]

\[CE = AE = \frac{1}{2}AC = 4\ см.\]

\[2)\ По\ теореме\ Фалеса:\]

\[DF\bot AC;\ \ \ \]

\[BE\bot AC;\ \ \ \]

\[DF \parallel BE.\]

\[\frac{\text{EF}}{\text{BD}} = \frac{\text{CF}}{\text{CD}};\ \ \ \]

\[\frac{\text{EF}}{\text{CF}} = \frac{\text{BD}}{\text{CD}} = 1.\]

\[3)\ В\ \mathrm{\Delta}CBE:\]

\[EF = CF;\ \ \ \]

\[BD = CD.\]

\[DF - средняя\ линия:\]

\[DF = \frac{1}{2}BE = 6\ см.\]

\[4)\ \mathrm{\Delta}AFD - прямоугольный:\]

\[EF = \frac{1}{2}CE = 2\ см;\]

\[AF = AE + EF = 6\ см.\]

\[\mathrm{\Delta}AFD - равнобедренный:\]

\[\angle ADF = \frac{1}{2} \bullet 90{^\circ} = 45{^\circ}.\]

\[Ответ:\ \ 6\ см;\ 45{^\circ}.\]