Решебник по геометрии 8 класс Мерзляк Задание 363

\[Схематический\ рисунок.\]

\[Дано:\]

\[ABCD - трапеция;\]

\[AB - диаметр;\]

\[CD - диаметр;\]

\[O - центр\ впис.\ окружности.\]

\[Доказать:\]

\[EF = EO + FO.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ Отметим\ точки\ E\ и\ F:\]

\[AE = BE;\ \ \ \]

\[CF = DF.\]

\[2)\ ABCD - трапеция:\]

\[AD + BC = AB + CD.\]

\[EF - средняя\ линия:\]

\[EF = \frac{1}{2}(AD + BC) = \frac{1}{2}(AB + CD).\]

\[3)\ В\ окружности\ радиуса\ AB:\]

\[EA = EB = EO = R_{1};\ \ \ \]

\[AB = 2R_{1}.\]

\[4)\ В\ окружности\ радиуса\ CD:\]

\[FC = FD = FO = R_{2};\ \ \]

\[CD = 2R_{2}.\]

\[5)\ ABCD - трапеция:\]

\[EF = \frac{1}{2}\left( 2R_{1} + 2R_{2} \right) = R_{1} + R_{2};\]

\[EF = EO + FO.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]