Решебник по геометрии 8 класс Мерзляк Задание 362

\[Схематический\ рисунок.\]

\[Дано:\]

\[AA_{1} - высота;\]

\[CC_{1} - высота;\]

\[A_{1}D = C_{1}D;\]

\[DM\bot A_{1}C_{1}.\]

\[Доказать:\]

\[AM = CM.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ ACA_{1}C_{1} - четырехугольник:\]

\[\angle AC_{1}C = \angle CA_{1}A = 90{^\circ}.\]

\[Можно\ описать\ окружность:\]

\[\cup AC = 2\angle AC_{1}C = 180{^\circ};\]

\[\cup AC = 2\angle CA_{1}A = 180{^\circ};\]

\[AC - диаметр.\]

\[2)\ \mathrm{\Delta}A_{1}MC_{1} - равнобедренный:\]

\[MD - медиана\ и\ высота.\]

\[Отсюда:\]

\[A_{1}M = C_{1}\text{M.}\]

\[3)\ Окружность:\]

\[A_{1}M = C_{1}M = R;\]

\[M - центр\ окружности;\]

\[AM = CM = R.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]