Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 8 класс Мерзляк Задание 267
Задание 267
\[Схематический\ рисунок.\]
\[Дано:\]
\[ABCD - равнобокая\ трапеция;\]
\[AE - биссектриса\ \angle A;\]
\[BF - биссектриса\ \angle B;\]
\[MN - средняя\ линия;\]
\[AE \cap BF = O.\]
\[Доказать:\]
\[O \in MN.\]
\[Доказательство.\]
\[1)\ В\ трапеции\ ABCD:\]
\[AD \parallel BC;\ \ \ \]
\[\angle A + \angle B = 180{^\circ}.\]
\[MN - средняя\ линия:\]
\[AM = BM;\ \ \ \]
\[MN \parallel BC.\]
\[2)\ \mathrm{\Delta}ABO:\]
\[\angle BAO + \angle ABO + \angle AOB = 180{^\circ}\]
\[\frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B + \angle AOB = 180{^\circ}\]
\[90{^\circ} + \angle AOB = 180{^\circ}\ \ \ \]
\[\angle AOB = 90{^\circ}.\]
\[3)\ На\ прямой\ OM:\]
\[MK = OM.\]
\[4)\ AKBO - четырехугольник:\]
\[AM = BM;\ \ \ \]
\[OM = KM;\]
\[\angle AOB = 90{^\circ}.\]
\[AKBO - прямоугольник:\]
\[AB = KO.\]
\[5)\ \mathrm{\Delta}MBO - равнобедренный:\]
\[BM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}KO = OM.\]
\[Отсюда:\]
\[\angle MOB = \angle MBO.\]
\[6)\ Для\ \text{OM\ }и\ \text{BC\ }и\ секущей\ BO:\]
\[\angle MOB = \angle MBO = \angle OBC;\]
\[OM \parallel BC;\ \ \ \]
\[O \in MN.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
