Решебник по геометрии 8 класс Мерзляк Задание 263

\[Схематический\ рисунок.\]

\[Дано:\]

\[ABCD - равнобокая\ трапеция;\]

\[EF - средняя\ линия;\]

\[BH - высота;\]

\[AB = CD;\]

\[BH = EF.\]

\[Доказать:\]

\[AC\bot BD.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ ABCD - трапеция:\]

\[AB = CD;\ \ \ \]

\[AI = DI;\ \ \]

\[BH\bot AD;\]

\[HD = \frac{1}{2}(AD + BC).\]

\[EF - средняя\ линия:\]

\[EF = \frac{1}{2}(AD + BC) = HD;\]

\[BH = EF = HD.\]

\[2)\ \mathrm{\Delta}BHD - \ равнобедренный:\]

\[\angle DBH = \angle BDH;\ \ \ \]

\[\angle BHD = 90{^\circ};\]

\[\angle DBH + \angle BDH + \angle BHD = 180{^\circ}\]

\[\angle BDH + \angle BDH + 90{^\circ} = 180{^\circ}\]

\[2\angle BDH = 90{^\circ}\ \ \ \]

\[\angle BDH = 45{^\circ}.\]

\[3)\ \mathrm{\Delta}AID - равнобедренный:\]

\[\angle DAI = \angle ADI = 45{^\circ};\]

\[\angle DAI + \angle ADI + \angle AID = 180{^\circ}\]

\[45{^\circ} + 45{^\circ} + \angle AID = 180{^\circ}\]

\[\angle AID = 180{^\circ} - 90{^\circ} = 90{^\circ}.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]