Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 8 класс Мерзляк Задание 24
Задание 24
\[\boxed{\mathbf{24.\ }еуроки - ответы\ на\ пятёрку}\]
\[Схематический\ рисунок.\]
\[Дано:\ \ \]
\[\angle A = \angle C = 90{^\circ};\]
\[BE - биссектриса\ \angle B;\]
\[DF - биссектриса\ \angle D.\]
\[Доказать:\]
\[BE \parallel DF.\]
\[Доказательство.\]
\[1)\ В\ четырехугольнике\ ABCD:\]
\[\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360{^\circ}\]
\[90{^\circ} + \angle B + 90{^\circ} + \angle D = 360{^\circ}\]
\[\angle D = 180{^\circ} - \angle B.\]
\[\angle ABE = \frac{1}{2}\angle B;\ \ \ \]
\[\angle ADF = \frac{1}{2}\angle D.\]
\[2)\ В\ прямоугольном\ \mathrm{\Delta}BAE:\]
\[\angle ABE + \angle BEA = 90{^\circ}\]
\[\angle BEA = 90{^\circ} - \angle ABE.\]
\[3)\ Сумма\ смежных\ углов:\]
\[\angle BED + \angle BEA = 180{^\circ}\]
\[\angle BED + 90{^\circ} - \angle ABE = 180{^\circ}\]
\[\angle BED = 90{^\circ} + \angle ABE.\]
\[4)\ Для\ прямых\ BE\ и\ \text{DF\ }и\ \]
\[секущей\ ED:\]
\[\angle EDF + \angle BED = \frac{1}{2}\angle D + 90{^\circ} +\]
\[+ \angle ABE = \frac{1}{2}(180{^\circ} - \angle B) +\]
\[+ 90{^\circ} + \frac{1}{2}\angle B = 180{^\circ}.\]
\[Следовательно:\]
\[BE \parallel DF.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
