Решебник по геометрии 8 класс Мерзляк Задание 25

\[\boxed{\mathbf{25.\ }еуроки - ответы\ на\ пятёрку}\]

\[Схематический\ рисунок.\]

\[Дано:\ \ \]

\[BE - биссектриса\ \angle B;\]

\[DF - биссектриса\ \angle D;\]

\[BE \parallel DF.\]

\[Доказать:\]

\[\angle A = \angle C.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ В\ четырехугольнике\ ABCD:\]

\[\angle ABE = \angle CBE = \frac{1}{2}\angle B;\]

\[\angle ADF = \angle CDF = \frac{1}{2}\angle D.\]

\[2)\ Для\ прямых\ BE\ и\ \text{DF\ }и\]

\[\ секущей\ AD:\]

\[\angle BEA = \angle FDE = \frac{1}{2}\angle D.\]

\[3)\ В\ треугольнике\ ABE:\]

\[\angle ABE + \angle BEA + \angle BAE =\]

\[= 180{^\circ}\]

\[\frac{1}{2}\angle B + \frac{1}{2}\angle D + \angle A = 180{^\circ}\]

\[\angle A = 180{^\circ} - \frac{1}{2}\angle B - \frac{1}{2}\angle D.\]

\[4)\ Для\ прямых\ BE\ и\ \text{DF\ }и\]

\[\ секущей\ BC:\]

\[\angle DFC = \angle EBF = \frac{1}{2}\angle B.\]

\[5)\ В\ треугольнике\ DCF:\]

\[\angle DCF + \angle CFD + \angle CDF = 180{^\circ}\]

\[\angle C + \frac{1}{2}\angle B + \frac{1}{2}\angle D = 180{^\circ}\]

\[\angle C = 180{^\circ} - \frac{1}{2}\angle B - \frac{1}{2}\angle D = \angle A.\]

\[\ Что\ и\ требовалось\ доказать.\]