Решебник по геометрии 8 класс Мерзляк Задание 211

\[Схематический\ рисунок.\]

\[Дано:\]

\[AB = CD;\ \]

\[AE = CE;\]

\[BK = DK.\]

\[Доказать:\]

\[\angle BMN = \angle CNM.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ Отметим\ точку\ F:\]

\[BF = CF.\]

\[2)\ \mathrm{\Delta}ABC:\]

\[AE = CE;\ \ \ \]

\[BF = CF.\]

\[EF - средняя\ линия:\]

\[EF \parallel AB;\ \ \ \]

\[EF = \frac{1}{2}\text{AB.}\]

\[3)\ \mathrm{\Delta}DCB:\]

\[BK = DK;\ \ \ \]

\[BF = CF.\]

\[KF - средняя\ линия:\]

\[KF \parallel CD;\ \ \]

\[KF = \frac{1}{2}\text{CD.}\]

\[4)\ \mathrm{\Delta}EFK - равнобедренный:\]

\[EF = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}CD = KF.\]

\[Отсюда:\]

\[\angle FEK = \angle FKE.\]

\[5)\ Для\ прямых\ \text{AB\ }и\ \text{EF\ }и\ \]

\[секущей\ MN:\]

\[AB \parallel EF;\ \ \]

\[\angle BMN = \angle FEK = \angle FKE.\]

\[6)\ Для\ прямых\ \text{CD\ }и\text{\ FK\ }и\ \]

\[секущей\ MN:\]

\[CD \parallel FK;\ \ \ \]

\[\angle CNM = \angle FKE = \angle BMN.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]