Решебник по геометрии 8 класс Мерзляк Задание 210

\[Схематический\ рисунок.\]

\[Дано:\]

\[AC\bot BD;\]

\[AM = BM;\]

\[AK = DK;\]

\[MT\bot CD;\]

\[KH\bot BC.\]

\[Доказать:\]

\[E \in AC.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ Отметим\ точку\ F:\]

\[AF = CF.\]

\[2)\ \mathrm{\Delta}ABD:\]

\[AM = BM;\ \ \ \]

\[AK = DK.\]

\[MK - средняя\ линия:\]

\[MK \parallel BD.\]

\[3)\ \mathrm{\Delta}DAC:\]

\[AK = DK;\ \ \ \]

\[AF = CF.\]

\[KF - средняя\ линия:\]

\[KF \parallel CD.\]

\[4)\ \mathrm{\Delta}BAC:\]

\[AM = BM;\ \ \]

\[AF = CF.\]

\[MF - средняя\ линия:\]

\[MF \parallel BC.\]

\[5)\ \mathrm{\Delta}MKF:\]

\[AC\bot BD,\ \ \ \]

\[MK \parallel BD,\ \ \ \]

\[AC\bot MK;\]

\[KH\bot BC,\ \ \ \]

\[MF \parallel BC,\ \ \ \]

\[KH\bot MF;\]

\[MT\bot CD,\ \ \ \]

\[KF \parallel CD,\ \ \ \]

\[MT\bot KF.\]

\[Следовательно:\]

\[AC,\ KH,\ MT - высоты;\]

\[KH \cap MT \cap AC = E.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]