Решебник по геометрии 8 класс Мерзляк Задание 184

\[Схематический\ рисунок.\]

\[Дано:\]

\[ABCD - квадрат;\]

\[\angle OAD = \angle ODA = 15{^\circ}.\]

\[Доказать:\]

\[\mathrm{\Delta}BOC - равносторонний.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ Отметим\ точку\ O_{1}:\]

\[\mathrm{\Delta}BO_{1}C - равносторонний;\]

\[BO_{1} = CO_{1} = BC;\]

\[\angle CBO_{1} = \angle BCO_{1} = 60{^\circ}.\]

\[2)\ ABCD - квадрат:\]

\[\angle A = \angle B = \angle C = 90{^\circ};\]

\[AB = BC = CD.\]

\[3)\ ABO_{1} - равнобедренный:\]

\[BO_{1} = BC = AB;\]

\[\angle ABO_{1} = 90{^\circ} - 60{^\circ} = 30{^\circ}.\]

\[Отсюда:\]

\[\angle BAO_{1} = \angle BO_{1}A;\]

\[\angle BAO_{1} + \angle BO_{1}A + \angle ABO_{1} = 180{^\circ}\]

\[\angle BAO_{1} + \angle BAO_{1} + 30{^\circ} = 180{^\circ}\]

\[2\angle BAO_{1} = 150{^\circ}\ \ \]

\[\angle BAO_{1} = 75{^\circ}.\]

\[4)\ \mathrm{\Delta}ABO_{1} = \mathrm{\Delta}DCO_{1} - по\ \]

\[первому\ признаку:\]

\[\angle DCO_{1} = 90{^\circ} - 60{^\circ} = 30{^\circ};\]

\[\angle DCO_{1} = \angle ABO_{1};\ \ \ \]

\[CO_{1} = CD = AB = BO_{1}.\]

\[Отсюда:\]

\[AO_{1} = O_{1}\text{D.}\]

\[5)\ \mathrm{\Delta}AO_{1}D - равнобедренный:\]

\[\angle DAO_{1} = 90{^\circ} - 75{^\circ} = 15{^\circ};\]

\[\angle ADO_{1} = \angle DAO_{1} = 15{^\circ}.\]

\[\text{O\ }и\ O_{1}\ совпадают.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]