Решебник по геометрии 8 класс Мерзляк Задание 148

\[Схематический\ рисунок.\]

\[Дано:\]

\[ABCD - ромб;\]

\[AG,\ CH - высоты;\]

\[BE,\ BF - высоты.\]

\[Доказать:\]

\[AG = BE = BF = CH.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ ABCD - ромб:\]

\[BC \parallel AD;\ \ \]

\[AB \parallel CD;\]

\[AB = BC;\ \ \ \]

\[\angle A = \angle C.\]

\[2)\ GBEA - параллелограмм:\]

\[BG \parallel AE;\]

\[AG\bot BG;\ \ \ \]

\[BE\bot AE;\]

\[AG \parallel BE.\]

\[Отсюда:\]

\[AG = BE.\]

\[3)\ BHCF - параллелограмм:\]

\[BH \parallel CF;\]

\[BF\bot CF;\ \ \ \]

\[CH\bot BH;\]

\[BF \parallel CH.\]

\[Отсюда:\]

\[BF = CH.\]

\[4)\ \mathrm{\Delta}ABE = \mathrm{\Delta}CBF - гипотенузе\ и\ углу:\]

\[\angle AEB = \angle CFB = 90{^\circ};\ \ \ \]

\[BAE = \angle BCF.\]

\[Отсюда:\]

\[BE = BF = AG = CH.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]