Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 8 класс Мерзляк Задание 129
Задание 129
\[Схематический\ рисунок.\]
\[Дано:\]
\[ABCD - параллелограмм;\]
\[AA^{'} - биссектриса\ \angle A;\]
\[BB^{'} - биссектриса\ \angle B;\]
\[CC^{'} - биссектриса\ \angle C;\]
\[DD^{'} - биссектриса\ \angle D.\]
\[Доказать:\]
\[EMKN - прямоугольник.\]
\[Доказательство.\]
\[1)\ ABCD - параллелограмм:\]
\[\angle A + \angle B = 180{^\circ};\]
\[\angle C + \angle D = 180{^\circ};\]
\[\angle A + \angle D = 180{^\circ}.\]
\[2)\ В\ \mathrm{\Delta}ABE:\]
\[\angle BAE + \angle ABE + \angle AEB = 180{^\circ}\]
\[\frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B + \angle AEB = 180{^\circ}\]
\[\angle A + \angle B + 2\angle AEB = 360{^\circ}\]
\[180{^\circ} + 2\angle AEB = 360{^\circ}\]
\[2\angle AEB = 180{^\circ}\ \ \]
\[\angle AEB = 90{^\circ}.\]
\[3)\ В\ \mathrm{\Delta}CKD:\]
\[\angle KCD + \angle CDK + \angle CKD = 180{^\circ}\]
\[\frac{1}{2}\angle C + \frac{1}{2}\angle D + \angle CKD = 180{^\circ}\]
\[\angle C + \angle D + 2\angle CKD = 360{^\circ}\]
\[180{^\circ} + 2\angle CKD = 360{^\circ}\]
\[2\angle CKD = 180{^\circ}\ \ \ \]
\[\angle CKD = 90{^\circ}.\]
\[4)\ В\ \mathrm{\Delta}AMD:\]
\[\angle MAD + \angle MDA + \angle AMD = 180{^\circ}\]
\[\frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle D + \angle AMD = 180{^\circ}\]
\[\angle A + \angle D + 2\angle AMD = 360{^\circ}\]
\[180{^\circ} + 2\angle AMD = 360{^\circ}\]
\[2\angle AMD = 180{^\circ}\ \ \]
\[\angle AMD = 90{^\circ}.\]
\[5)\ EMKN - четырехугольник:\]
\[\angle E + \angle M + \angle K + \angle N = 360{^\circ}\]
\[90{^\circ} + 90{^\circ} + 90{^\circ} + \angle N = 360{^\circ}\]
\[\angle N = \angle E = \angle M = \angle K = 90{^\circ}.\]
\[Следовательно:\]
\[EMKN - прямоугольник.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
