Решебник по геометрии 8 класс Мерзляк Задание 120

\[Схематический\ рисунок.\]

\[Дано:\]

\[ABCD - прямоугольник;\]

\[AM - биссектриса\ \angle A;\]

\[DM - биссектриса\ \angle D;\]

\[P_{\text{ABCD}} = 30\ см.\]

\[Найти:\]

\[AB;\ BC;\ CD;\ AD.\]

\[Решение.\]

\[1)\ ABCD - прямоугольник:\]

\[AB = CD;\ \ \ \]

\[BC = AD;\]

\[\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90{^\circ}.\]

\[2)\ \mathrm{\Delta}AMD - равнобедренный:\]

\[\angle MAD = \frac{1}{2}\angle A = \frac{1}{2}\angle D = \angle MDA.\]

\[Отсюда:\]

\[AM = MD.\]

\[3)\ \mathrm{\Delta}ABM = \mathrm{\Delta}DCM - по\ \]

\[гипотенузе\ и\ углу:\]

\[\angle ABM = \angle DCM = 90{^\circ};\]

\[\angle BAM = \frac{1}{2}\angle A = \frac{1}{2}\angle D = \angle CDM.\]

\[Отсюда:\]

\[BM = CM.\]

\[4)\ \mathrm{\Delta}ABM - прямоугольный:\]

\[\angle BAM = \frac{1}{2}\angle A = 45{^\circ};\]

\[\angle BMA = 90{^\circ} - \angle BAM = 45{^\circ}.\]

\[Значит:\]

\[\mathrm{\Delta}ABM - равнобедренный.\]

\[Отсюда:\]

\[AB = BM.\]

\[5)\ ABCD - прямоугольник:\]

\[BC = 2BM = 2AB;\]

\[P_{\text{ABCD}} = AB + BC + CD + AD\]

\[30 = AB + 2AB + AB + 2AB\]

\[6AB = 30\ \]

\[AB = 5\ см.\]

\[BC = 2 \bullet 5 = 10\ см.\]

\[Ответ:\ \ 5\ см;\ 10\ см.\]