Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 8 класс Мерзляк Задание 107
Задание 107
\[Схематический\ рисунок.\]
\[Дано:\]
\[ABCD - параллелограмм;\]
\[AM = MB;\]
\[BN = NC;\]
\[CK = KD;\]
\[AP = PD.\]
\[Доказать:\]
\[EFGH - параллелограмм.\]
\[Доказательство.\]
\[1)\ ABCD - параллелограмм:\]
\[AB = CD;\ \ \ \]
\[BC = AD;\]
\[\angle A = \angle C;\]
\[\angle B = \angle D.\]
\[2)\ \mathrm{\Delta}KCB = \mathrm{\Delta}MAD - по\ первому\ \]
\[признаку:\]
\[MA = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}CD = KC;\]
\[\angle MAD = \angle KCB.\]
\[Отсюда:\]
\[MD = BK.\]
\[3)\ MBKD - четырехугольник:\]
\[MB = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}CD = KD;\]
\[MD = BK.\]
\[Значит:\]
\[MBKD - параллелограмм.\]
\[Отсюда:\]
\[MD \parallel BK.\]
\[4)\ \mathrm{\Delta}ABN = \mathrm{\Delta}CDP - по\ первому\ \]
\[признаку:\]
\[BN = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}AD = DP;\]
\[\angle ABN = \angle CDP.\]
\[Отсюда:\]
\[AN = CP.\]
\[5)\ ANCP - четырехугольник:\]
\[AP = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}BC = NC;\]
\[AN = CP.\]
\[Значит:\]
\[ANCP - параллелограмм.\]
\[Отсюда:\]
\[AN \parallel CP.\]
\[6)\ EFGH - четырехугольник:\]
\[EH \parallel FG;\ \ \]
\[EF \parallel GH.\]
\[Значит:\]
\[EFGH - параллелограмм.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
