Решебник по геометрии 8 класс Мерзляк Задание 104

\[Схематический\ рисунок.\]

\[Дано:\]

\[ABCD - параллелограмм;\]

\[AE - биссектриса\ \angle A;\]

\[CF - биссектриса\ \angle C.\]

\[Доказать:\]

\[AECF - параллелограмм.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ ABCD - параллелограмм:\]

\[AB \parallel CD;\ \ \ \]

\[AB = CD;\ \ \ \]

\[\angle A = \angle C.\]

\[2)\ Для\ прямых\ AB\ и\ \text{CD\ }и\ \]

\[секущей\ BD:\]

\[\angle ABD = \angle CDB.\]

\[3)\ \mathrm{\Delta}ABE = \mathrm{\Delta}CDF - по\ второму\ \]

\[признаку:\]

\[\angle BAE = \frac{1}{2}\angle A = \frac{1}{2}\angle C = \angle DCF;\]

\[\angle ABE = \angle CDF.\]

\[Отсюда:\]

\[AE = CF;\ \ \ \]

\[BE = DF.\]

\[4)\ \mathrm{\Delta}ABF = \mathrm{\Delta}CDE - по\ первому\ \]

\[признаку:\]

\[BF = BD - DF = BD - BE = DE;\]

\[\angle ABF = \angle CDE.\]

\[Отсюда:\]

\[AF = CE.\]

\[5)\ AECF - четырехугольник:\]

\[AE = CF;\ \ \ \]

\[AF = CE.\]

\[Значит:\]

\[AECF - параллелограмм.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]