\[\boxed{\mathbf{985.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[точки\ \text{A\ }и\ B;\]
\[BM^{2} - AM^{2} = 2AB^{2}.\]
\[\mathbf{Найти:}\]
\[множество\ точек\ \text{M.}\]
\[\mathbf{Решение.}\]
\[1)\ Введем\ систему\ координат:\]
\[A(0;0);B(a;0);M(x;y).\]
\[2)\ BM^{2} = (a - x)^{2} + y^{2};\]
\[AM^{2} = x^{2} + y^{2};\]
\[AB^{2} = a^{2}.\]
\[3)\ (a - x)^{2} + y^{2} - x^{2} - y^{2} =\]
\[= 2a^{2}\]
\[a^{2} - 2ax + x^{2} + y^{2} - x^{2} - y^{2} =\]
\[= 2a^{2}\]
\[- 2ax = a^{2}\ \]
\[- 2x = a\]
\[x = - \frac{a}{2}.\]
\[4)\ Множество\ всех\ точек\ M:\]
\[прямая,\ перпендикулярная\ \text{AB\ }\]
\[и\ проходящая\ через\ точку,\ \]
\[симметричную\ середине\ \text{AB.}\]
\[\boxed{\mathbf{985}\mathbf{.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Рисунок\ по\ условию\mathbf{\ задачи:}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[ABCD - трапеция;\]
\[MN - средняя\ линия;\]
\[BD\ и\ AC - диагонали.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[MN\ проходит\ через\ E\ и\ F;\]
\[так\ что\]
\[BF = FD;\]
\[AE = EC.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ MN - средняя\ линия:\]
\[BC \parallel MN \parallel AD.\]
\[2)\ AM = MB;\ \ BC \parallel MN \parallel AD:,\]
\[BF = FD\ (по\ теореме\ Фалеса);\ \]
\[\text{MN\ }проходит\ через\ точку\ F.\]
\[3)\ CN = ND;\ \ BC \parallel MN \parallel AD:\]
\[CE = EA\ (по\ теореме\ Фалеса);\]
\[\text{MN\ }проходит\ через\ точку\ E.\]
\[4)\ Из\ пунктов\ 2\ и\ 3\ делаем\ \]
\[вывод:\]
\[MN\ проходит\ через\ точки\ \]
\[\text{E\ }и\ \text{F.}\]
\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]