\[\boxed{\mathbf{917.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[\mathbf{Построить:\ }\]
\[\overrightarrow{a}\ \left\{ 3;0 \right\};\ \overrightarrow{b}\ \left\{ 2;\ - 1 \right\};\ \overrightarrow{c}\ \left\{ 0;\ - 3 \right\};\ \]
\[\overrightarrow{d}\ \left\{ 1;1 \right\};\ \overrightarrow{e}\ \left\{ 2;\ \sqrt{2} \right\}\mathbf{.}\]
\[\boxed{\mathbf{917.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Дано:\ \]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\ \]
\[окружность\ (M;r);\]
\[окружность\ (O;R);\]
\[d = OM.\]
\[Доказать:\]
\[d^{2} = R^{2} - 2Rr.\]
\[Доказательство.\]
\[1)\ Проведем\ через\ точку\ \text{M\ }\]
\[диаметр\ описанной\ \]
\[окружности\ PQ,а\ также\ \]
\[биссектрисы\ AM\ и\ \text{BM}.\]
\[2)\ По\ теореме\ о\ произведении\ \]
\[отрезков\ пересекающихся\ \]
\[хорд:\]
\[PM \bullet MQ = AM \bullet MA_{1};\]
\[(R + d)(R - d) = AM \bullet MA_{1}.\]
\[3)\ AA_{1}\ и\ BB_{1} - биссектрисы:\]
\[\cup BA_{1} = \cup A_{1}C;\]
\[\cup CB_{1} = \cup B_{1}\text{A.}\]
\[Значит:\ \ \]
\[\angle\text{BM}A_{1} = \frac{\cup BA_{1} + \cup AB_{1}}{2} =\]
\[= \frac{\cup A_{1}C + CB_{1}}{2} = \angle MBA_{1}.\]
\[4)\ \mathrm{\Delta}MA_{1}B - равнобедренный;\]
\[(R + d)(R - d) = AM \bullet BA_{1}.\]
\[5)\ Проведем\ диаметр\ A_{1}A_{2}\ \]
\[описанной\ окружности:\]
\[K - точка\ касания\ вписанной\ \]
\[окружности\ и\ стороны\ \text{AB.}\]
\[6)\ \mathrm{\Delta}A_{1}A_{2}B - прямоугольный\ \]
\[(так\ как\ опирается\ на\ диаметр);\]
\[\mathrm{\Delta}AMK - прямоугольный:\]
\[\angle A_{1}A_{2}B = \angle MAK = \frac{1}{2} \cup BA_{1} \Longrightarrow \ \]
\[Отсюда:\ \]
\[MK\ :BA_{1} = AM\ :A_{1}A_{2}\ \]
\[или\ \]
\[r\ :BA_{1} = AM\ :2R.\]
\[7)\ AM \bullet BA_{1} = 2Rr\]
\[(R + d)(R - d) = 2Rr\]
\[d^{2} = R^{2} - 2Rr.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]