\[\boxed{\mathbf{915.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[ABCD - параллелограмм;\]
\[AM\ :MC = 4\ :1;\]
\[M \in AC.\]
\[\mathbf{Найти:}\]
\[\overrightarrow{\text{AM}}\ по\ \frac{\overrightarrow{a} = \overrightarrow{\text{AB}}}{\overrightarrow{b} = \overrightarrow{\text{AD}}}.\]
\[\mathbf{Решение.}\]
\[\overrightarrow{\text{AM}} \uparrow \uparrow \overrightarrow{\text{AC}};\left| \overrightarrow{\text{AM}} \right| = \frac{4}{5}\left| \overrightarrow{\text{AC}} \right|:\]
\[\overrightarrow{\text{AC}} = \overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{AD}}\ \]
\[(по\ правилу\ параллелограмма).\]
\[Следовательно:\ \]
\[\overrightarrow{\text{AM}} = \frac{4}{5}\left( \overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{AD}} \right) = \frac{4}{5}\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right).\]
\[\boxed{\mathbf{915.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Дано:\]
\[ABCD - трапеция;\]
\[AD \parallel BC;\]
\[\angle A = 90{^\circ}.\]
\[Доказать:\]
\[S_{\text{ABCD}} = AD \bullet BC.\]
\[Доказательство.\]
\[1)\ Отметим\ точки\ касания\ \]
\[окружностью\ сторон\ \]
\[трапеции:\]
\[E,F,G\ и\ \text{H.}\]
\[2)\ Рассмотрим\ \]
\[четырехугольник\ ABFH:\]
\[OH\bot AD;\]
\[OF\bot BC;\ \]
\[O \in FH.\]
\[Следовательно:\]
\[ABFH - прямоугольник;\]
\[FH = AB = 2r = h;\]
\[BF = AH = OE = r.\]
\[3)\ Опустим\ высоту\ CK\bot AD:\]
\[CK^{2} = h^{2} = CD^{2} - KD^{2} =\]
\[= CD^{2} - (AD - BC)^{2}.\]
\[4)\ По\ свойству\ описанного\ \]
\[четырехугольника:\]
\[AD + BC = AB + CD.\]
\[5)\ CD = AD + BC - AB =\]
\[= AD + BC - h;\]
\[h^{2} = (AD + BC - h)^{2} - (AD - BC)^{2};\]
\[2h(AD + BC) =\]
\[= (AD + BC)^{2} - (AD - BC)^{2};\]
\[2h(AD + BC) = 4AD \bullet BC;\]
\[h(AD + BC) = 2AD \bullet BC.\]
\[6)\ S_{\text{ABCD}} = \frac{h(AD + BC)}{2} =\]
\[= \frac{2AD \bullet BC}{2} = AD \bullet BC.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]