\[\boxed{\mathbf{899.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Дано:\]
\[Построить:\]
\[наименьшую\ хорду,\ \]
\[проходящую\ через\ точку\ \text{M.}\]
\[Построение.\]
\[1)\ Проведем\ диаметр\ \text{OM.}\]
\[2)\ Через\ точку\ \text{M\ }построим\ \]
\[перпендикуляр\ к\ \text{OM.}\]
\[3)\ На\ пересечениях\ данного\ \]
\[перпендикуляра\ и\ окружности\]
\[отметим\ точки\ \text{A\ }и\ \text{B.}\]
\[4)\ Хорда\ AB - искомая.\]
\[\boxed{\mathbf{899.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Доказательство.\]
\[Пусть\ окружность\ касается\ \]
\[стороны\ \text{BC\ }и\ продолжения\ \]
\[сторон\ \text{AC\ }и\ \text{AB}\]
\[треугольника\ ABC\ в\ точках\ \]
\[A_{1};B^{'};C^{'}.\]
\[Тогда:\]
\[CA_{1} = CB^{'};\]
\[BA_{1} = BA^{'};\]
\[AB^{'} = AC^{'}.\]
\[Пусть\ AB = c;AC = b;BC = a;\]
\[p - полупериметр\ ⊿ABC.\]
\[Получаем:\]
\[AB^{'} = AC^{'} = p;\]
\[BA_{1} = BC^{'} = p - c;\]
\[A_{1}C = CB^{'} = p - b.\]
\[Аналогично\ для\ точек\ \]
\[касания\ B_{1}\ и\ C_{1}:\]
\[AC_{1} = p - b;\]
\[C_{1}B = p - a;\]
\[CB_{1} = p - a;\]
\[C_{1}A = p - b.\]
\[Следовательно,\ выполняется\ \]
\[равенство:\]
\[\frac{A_{1}C}{C_{1}B} \cdot \frac{BA_{1}}{A_{1}C} \cdot \frac{CB_{1}}{B_{1}A} = 1.\]
\[По\ теореме\ Чевы,\ прямые\ AA_{1};\]
\[BB_{1};\ \ CC_{1}\ пересекаются\ \]
\[в\ одной\ точке.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]