\[\boxed{\mathbf{893.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[1)\ Отобразим\ условие\ задачи\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[ABCD - четырехугольник.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[AC \bullet BD = AB \bullet CD + BC \bullet AD.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ На\ диагонали\ \text{AC\ }отметим\ \]
\[точку\ E:\]
\[\angle ABE = \angle DBC.\]
\[2)\ \angle ABE = \angle DBC\ и\ \]
\[\angle BAE = \angle BCD = \frac{1}{2} \cup BC:\]
\[\mathrm{\Delta}ABE\sim\mathrm{\Delta}DBC\ (по\ двум\ углам).\]
\[Отсюда:\]
\[\frac{\text{AB}}{\text{BD}} = \frac{\text{AE}}{\text{CD}}\]
\[AB \bullet CD = AE \bullet BD.\]
\[3)\ \angle BCE = \angle BDA = \frac{1}{2} \cup AB\ и\ \]
\[\angle EBC = \angle ABD =\]
\[= \angle ABE + \angle EBD:\]
\[\mathrm{\Delta}BCE\sim\mathrm{\Delta}BDA\ (по\ двум\ углам).\]
\[Отсюда:\]
\[\frac{\text{BC}}{\text{BD}} = \frac{\text{CE}}{\text{AD}}\]
\[BC \bullet AD = CE \bullet BD.\]
\[4)\ Сумма\ двух\ равенств:\]
\[AB \bullet CD + BC \bullet AD =\]
\[= AE \bullet BD + CE \bullet BD\]
\[AB \bullet CD + BC \bullet AD =\]
\[= (AE + CE) \bullet BD\]
\[AB \bullet CD + BC \bullet AD = AC \bullet BD.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{893.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Доказательство.\]
\[Пусть\ прямые\ AA_{1};BB_{1};\ CC_{1}\ \]
\[пересекаются\ в\ одной\ точке\ \text{O.}\]
\[Применим\ теорему\ Менелая\ \]
\[к\ ⊿BCC_{1}\ и\ прямой\ AA_{1}:\]
\[\frac{BA_{1}}{A_{1}C} \cdot \frac{\text{CO}}{OC_{1}} \cdot \frac{C_{1}A}{\text{AB}} = 1.\]
\[Аанлогично\ применяя\ теорему\ \]
\[Менелая\ к\ ⊿AC_{1}\text{C\ }и\ прямой\ \]
\[BB_{1}:\]
\[\frac{C_{1}O}{\text{OC}} \cdot \frac{CB_{1}}{B_{1}A} \cdot \frac{\text{AB}}{BC_{1}} = 1.\]
\[Перемножая\ два\ равенства,\ \]
\[получим:\]
\[\frac{A_{1}C}{C_{1}B} \cdot \frac{BA_{1}}{A_{1}C} \cdot \frac{CB_{1}}{B_{1}A} = 1.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]