\[\boxed{\mathbf{828.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунки\ по\ условию\ задачи:\]
\[\textbf{а)}\ \]
\[\textbf{б)}\ \]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\]
\[\textbf{а)}\ MN - ось\ симметрии;\]
\[\textbf{б)}\ более\ одной\ оси\ симметрии.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC - равнобедренный.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[Определение\ оси\ симметрии:\]
\[ось\ и\ фигура\ должны\ иметь\ \]
\[общие\ точки.\]
\[\textbf{а)}\ 1)\ Допустим,\ что\ \text{MN\ }\]
\[пересекает\ стороны\ \mathrm{\Delta}\text{ABC},\ но\ \]
\[не\ проходит\ через\ вершину.\]
\[Тогда\ треугольник\ \]
\[преображается\ в\ невыпуклый\ \]
\[многоугольник.\]
\[2)\ Допустим,\ что\ \text{MN\ }проходит\ \]
\[через\ 2\ вершины\ и\ содержит\ \]
\[одну\ из\ сторон.\ \]
\[Тогда\ \mathrm{\Delta}\ не\ отображается\ сам\ в\ \]
\[себя.\]
\[3)\ Следовательно,\ MN - ось\ \]
\[симметрии,\ должна\ проходить\ \]
\[через\ \ вершину\ и\ пересекать\ \]
\[противоположную\ сторону\ \]
\[треугольника.\]
\[4)\ Допустим,\ что\ \text{MN\ }проходит\ \]
\[через\ вершину\ B\ и\ пересекает\ \ \]
\[сторону\ \text{AC}:\]
\[B \rightarrow B_{1} = B;\ \ A \rightarrow A_{1} = A;\ \ \ \]
\[C \rightarrow C_{1} = C.\]
\[5)\ По\ определению\ осевой\ \]
\[симметрии:\]
\[MN - серединный\ \]
\[перпендикуляр\ к\ AC;\]
\[отметим\ точку\ пересечения\ \]
\[(O)\ и\ получим:\]
\[BO\bot AC;AO = OC.\ \]
\[Следовательно:\]
\[BO - высота\ и\ медиана;\ \]
\[\ \mathrm{\Delta}ABC - равнобедренный,\ с\ \]
\[основанием\ \text{AC.}\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\textbf{б)}\ Мы\ доказали\ в\ а),\ что\ ось\ \]
\[симметрии\ треугольника\ \]
\[проходит\ \ через\ одну\ из\ его\ \]
\[вершин,\ стороны\ в\ этом\ случае\ \]
\[равны,\ а\ треугольник -\]
\[равнобедренный.\]
\[1)\ Допустим,\ что\ \mathrm{\Delta}\text{ABC\ }имеет\ \]
\[не\ одну,\ а\ две\ оси\ симметрии,\]
\[\ назовем\ их\ \text{AD\ }и\ BE,\ которые\ \]
\[проходят\ через\ вершины\ A\ и\ \text{B.}\]
\[Получаем:\]
\[AD - серединный\ \]
\[перпендикуляр;AB = AC;\]
\[BE - серединный\ \]
\[перпендикуляр;AB = BC.\]
\[Следовательно\% + :\]
\[AB = BC = AC;\]
\[\mathrm{\Delta}ABC - равносторонний.\]
\[2)\ Так\ как\ каждая\ ось\ \]
\[симметрии\ проходит\ через\ \]
\[вершину,\ то\ \ равносторонний\ \]
\[треугольник\ не\ может\ иметь\ \]
\[более\ 3\ осей\ \ симметрии.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{828.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[ABCD - четырехугольник.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[точки\ \text{B\ }и\ \text{D\ }лежат\]
\(по\ разные\ стороны\) \(от\ \text{AC}.\)
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Допустим,\ что\ \]
\[четырехугольник\ ABCD -\]
\[выпуклый:\ \]
\[точки\ \text{C\ }и\ \text{D\ }будут\ лежать\ \]
\[по\ одну\ сторону\ от\ прямой\ \text{AB};\]
\[а\ точки\ \text{C\ }и\ \text{B\ }по\ одну\ сторону\ \]
\[от\ прямой\ \text{AD}.\]
\[Следовательно:\ \]
\[точка\ \text{C\ }находится\ внутри\ \]
\[\angle BAD;\]
\[а\ точки\ \text{B\ }и\ \text{D\ }лежат\ по\ разные\ \]
\[стороны\ от\ прямой\ \text{AC}.\]
\[\ 2)\ Допустим,\ что\ \]
\[четырехугольник\ ABCD -\]
\[не\ выпуклый\ и\ прямая\ \text{BC\ }\]
\[перескает\ его\ сторону\ \text{AD}:\]
\[E = \left| \text{BC} \right| \cap \left| \text{AD} \right|\text{.\ }\]
\[Следовательно:\ \]
\[точка\ C \in отрезку\ \text{BE\ }и\ лежит\ \]
\[внутри\ угла\ \text{BAE};\]
\[точка\ \text{C\ }находится\ внутри\ \]
\[угла\ \text{BAD}.\]
\[Значит:\ \]
\[\text{B\ }и\ \text{D\ }лежат\ по\ разные\ \]
\[стороны\ от\ \text{AC.}\]
\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]