\[\boxed{\mathbf{675.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\left( O_{1}R \right) \cap \left( O_{2};r \right) = A.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[O_{1} \in OA;\]
\[O_{2} \in OA.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ \text{BC\ }и\ B_{1}C_{1} - касательные\ к\ \]
\[окружностям:\]
\[O_{1}B\bot BC;\ \ O_{2}C\bot BC;\ \ \]
\[O_{1}B_{1}\bot B_{1}C_{1};\ \ \ O_{2}C_{1}\bot B_{1}C_{1}.\]
\[Следовательно,\ точки\ O_{1}\ и\ O_{2}\ \]
\[лежат\ на\ биссектрисе\ OO_{2}\ \]
\[(по\ свойству\ биссектрисы).\]
\[2)\ AK = AK_{1}\ \]
\[(по\ свойству\ биссектрисы):\]
\[A \in OO_{2}.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{675.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\text{ABCD} - трапеция;\]
\[M \in \text{AC};\]
\[N \in \text{BD};\]
\[\text{AM} = \text{MC};\]
\[\text{BN} = \text{ND}.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[1)\ MN \parallel AD;\]
\[2)\ MN = \frac{1}{2}(AD - BC).\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Проведем\ через\ точку\ \text{M\ }\]
\[прямую\ MF:\]
\[MF \parallel AD.\]
\[2)\ AM = MC\ и\ MF \parallel AD:\]
\[CF = FD\ (по\ теореме\ Фалеса).\]
\[3)\ CF = FD\ и\ AM = MC:\]
\[\ MF - средняя\ линия.\]
\[4)\ MF \cap BD = N.\]
\[5)\ CF = FD\ и\ BN = ND:\]
\[NF - средняя\ линия \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow N \in MF.\]
\[6)\ MF - средняя\ линия\ \mathrm{\Delta}ACD:\]
\[\ MF = \frac{1}{2}\text{AD.}\]
\[7)\ NF - средняя\ линия\ \mathrm{\Delta}BCD:\]
\[NF = \frac{1}{2}\text{BC.}\]
\[8)\ MN = MF - NF =\]
\[= \frac{1}{2}AD - \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}(AD - BC).\]
\[9)\ MN \in MF\ и\ \]
\[MF \parallel AD \Longrightarrow MN \parallel AD.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]