\[\boxed{\mathbf{670.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[окружность\ (O;r);\]
\[AB - касательная;\]
\[AQ - секущая;\]
\[P,Q \in AQ\ и\]
\[P;\ Q \in окружности.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[AB^{2} = AP \bullet AQ.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ \mathrm{\Delta}ABP\sim\mathrm{\Delta}ABQ\ \]
\[(по\ двум\ углам):\]
\[\angle A - общий;\]
\[\angle ABP = \angle AQB =\]
\[= \frac{1}{2} \cup BP\ (задача\ 664).\]
\[Отсюда:\]
\[\frac{\text{AB}}{\text{AQ}} = \frac{\text{AP}}{\text{AB}} = \frac{\text{BP}}{\text{BQ}} = k.\]
\[2)\frac{\text{AB}}{\text{AQ}} = \frac{\text{AP}}{\text{AB}}\]
\[AB^{2} = AP \bullet AQ\ \]
\[(по\ свойству\ пропорции).\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{670.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\]
\[AB = a;\]
\[CH = h;\]
\[CH\bot AB;\]
\[MNFE - квадрат.\]
\[\mathbf{Найти:}\]
\[MN - ?\]
\[\mathbf{Решение.}\]
\[1)\ NF \parallel AB\ и\ CA - секущая:\]
\[\angle CNF = \angle CAB\ \]
\[(как\ соответственные).\]
\[2)\ \mathrm{\Delta}ABC\sim\mathrm{\Delta}NCF\ \]
\[(по\ двум\ углам):\]
\[\angle C - общий;\ \]
\[\angle CNF = \angle CAB.\]
\[Отсюда:\]
\[\frac{\text{AB}}{\text{NF}} = \frac{\text{CH}}{\text{CQ}}.\]
\[3)\ MNFE - квадрат:\]
\[MN = NF = FE = ME = x.\]
\[4)\ Получаем:\ \]
\[CQ = h - x.\]
\[5)\ \frac{a}{x} = \frac{h}{h - x}\]
\[ah - ax = hx\]
\[ah = (a + h)x\]
\[x = \frac{\text{ah}}{a + h}\]
\[MN = \frac{\text{ah}}{a + h}.\]
\[\mathbf{Ответ:}MN = \frac{\text{ah}}{a + h}\mathbf{.}\]