\[\boxed{\mathbf{616.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\]
\[a - прямая;\]
\[EF \parallel AC;\]
\[AN\bot a;\]
\[BP\bot a;\]
\[\text{CM}\bot a;\ \]
\[\text{EF} \in \text{a.}\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[BP = CM = AN.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ \ \mathrm{\Delta}BPF = \mathrm{\Delta}FMC - по\ \]
\[гипотенузе\ и\ острому\ углу:\]
\[BF = FC\ (по\ условию);\ \]
\[\angle BFP = \angle MFC\ \]
\[(как\ вертикальные).\]
\[Отсюда:\ \]
\[BP = MC.\]
\[2)\mathrm{\Delta}ENA = \mathrm{\Delta}BPF - по\ \]
\[гипотенузе\ и\ острому\ углу:\]
\[EB = EA\ (по\ условию);\ \]
\[\angle BEP = \angle NEA\ \]
\[(как\ вертикальные).\]
\[Отсюда:\ \]
\[AN = BP.\]
\[3)\ BP = MC\ и\ BP = AN:\]
\[MC = AN = BP.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{616}\mathbf{.}\mathbf{еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[ABCD - трапеция;\]
\[AC \cap BD = O.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[OA \bullet OB = OC \bullet OD.\]
\[Сравнить:\]
\[\textbf{а)}\ S_{\text{ABD}}\ и\ S_{\text{ACD}};\]
\[\textbf{б)}\ S_{\text{ABO}}\ и\ S_{\text{CDO}}.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[\textbf{а)}\ BH = CF\ (как\ высоты):\]
\[1)\ \angle BOA = \angle COD\ \]
\[(как\ вертикальные):\]
\[По\ теореме\ об\ отношении\ \]
\[углов\ треугольников\ \]
\[с\ равными\ углами:\]
\[\frac{S_{\text{BOA}}}{S_{\text{COD}}} = \frac{BO \bullet OA}{OC \bullet OD}.\]
\[3)\ S_{\text{ABO}} = S_{\text{CDO}} \Longrightarrow 1 = \frac{BO \bullet OA}{OC \bullet OD};\]
\[BO \bullet OA = OC \bullet OD.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\(Ответ:а)\ Равны;б)\ Равны.\)