\[\boxed{\mathbf{429.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\text{ABCD} - выпуклый\ \]
\[четырехугольник;\]
\[\angle A + \angle B = 180{^\circ};\]
\[\angle B + \angle C = 180{^\circ}.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[\text{ABCD} - параллелограмм.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ \angle A + \angle B =\]
\[= 180{^\circ}\ (по\ условию);\ \]
\[\angle A\ и\ \angle B - односторонние;\ \]
\[следовательно:\]
\[\text{BC} \parallel \text{AD}.\]
\[2)\ \angle B + \angle C =\]
\[= 180{^\circ}\ (по\ условию);\ \]
\[\angle B\ и\ \angle C - односторонние;\]
\[следовательно:\]
\[\text{CD} \parallel \text{AB}.\]
\[3)\ По\ определению\ \]
\[параллелограмма:\]
\[\text{ABCD} - параллелограмм.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{429.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Дано:\ \]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\]
\[AB - наибольшая\ сторона.\]
\[Доказать:\]
\[DE < AB.\]
\[Доказательство.\]
\[Рассмотрим\ два\ возможных\ \]
\[случая\ расположения\ \]
\[отрезка\ DE.\]
\[\textbf{а)}\ Один\ из\ концов\ отрезка\ \]
\[лежит\ на\ наибольшей\ стороне\ \]
\[\mathrm{\Delta}ABC:\]
\[если\ отрезок\ соединяет\ \]
\[вершину\ треугольника\ \]
\[с\ точкой,\ лежащей\ на\ \]
\[противоположной\ стороне,\ \]
\[то\ этот\ отрезок\ меньше\ \]
\[большей\ из\ двух\ других\ сторон\ \]
\[(задача\ 312).\]
\[Следовательно:\ \ \ \ AE < AB.\]
\[Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}AEB:\]
\[DE \leq AE\ или\ DE \leq BE,\ \]
\[но\ AE < AB\ и\ BE \leq BC < AB.\]
\[Значит:\ DE < AB.\]
\[\textbf{б)}\ Ни\ один\ из\ концов\ \]
\[отрезка\ DE\ не\ лежит\ на\ AB:\]
\[AE - отрезок,\ соединяющий\ \]
\[вершину\ \mathrm{\Delta}\text{ABC\ }с\ точкой,\]
\[лежащей\ на\ противоположной\ \]
\[стороне,\ тогда\ AE < AB.\]
\[Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}ACE:\]
\[DE \leq AE\ или\ DE \leq CE,\ \]
\[но\ AE < AB\ и\ CE \leq BC < AB.\]
\[Значит:\ \ \ DE < AB.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]