\[\boxed{\mathbf{419.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\text{ABCD} - прямоугольник;\]
\[F,\ N,P,E - середины\ сторон.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[\text{FE}\ и\ \text{PN} - оси\ симметрии.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[Прямая,\ проходящая\ через\ \]
\[середины\ сторон\ \]
\[прямоугольника,\ делит\ его\ на\ \]
\[два\ равных\ прямоугольника\ \]
\[(боковые\ стороны\ \]
\[равны\ по\ определению).\]
\[По\ условию,\ стороны\ \]
\[разделены\ пополам\ и\ углы\ \]
\[равны\ 90{^\circ}.\]
\[Следовательно:\]
\[\text{FE}\ и\ \text{PN} - оси\ симметрии.\]
\[\boxed{\mathbf{419.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[AB - прямая;\]
\[AC_{1} = BC_{2};\]
\[\angle BAC_{1} = \angle ABC_{2};\]
\[AB \cap C_{1}C_{2} = O.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[AO = OB.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Рассмотрим\ прямые\ AC_{1}\ и\ \]
\[BC_{2};\ AB - секущая:\]
\[\angle BAC_{1} = \angle ABC_{2}\ \]
\[(как\ накрест\ лежащие);\]
\[2)\ Рассмотрим\ AC_{1} \parallel BC_{2};\ \ \]
\[C_{1}C_{2} - секущая:\]
\[\angle AC_{1}O = \angle OC_{2}\text{B\ }\]
\[(как\ накрест\ лежащие).\]
\[3)\ \mathrm{\Delta}AC_{1}O = \mathrm{\Delta}OC_{2}B - по\ \]
\[стороне\ и\ двум\ прилежащим\ \]
\[углам:\]
\[\angle BAC_{1} = \angle ABC_{2};\ \]
\[AC_{1} = BC_{2};\ \]
\[\angle AC_{1}O = \angle OC_{2}\text{B.}\]
\[Отсюда:\ \]
\[AO = OB.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]