\[\boxed{\mathbf{343.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\]
\[BC > AB;\]
\[BM - медиана.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[\angle ABM > \angle MBC.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Построим\ на\ продолжении\ \]
\[\text{BM\ }отрезок\ ME = BM.\]
\[2)\ \mathrm{\Delta}ABM = \mathrm{\Delta}EMC - по\ двум\ \]
\[сторонам\ и\ углу\ между\ ними:\]
\[ME = BM;\]
\[AM = MC\ \]
\[(так\ как\ BM - медиана);\]
\[\angle AMB = \angle EMC\ \]
\[(как\ вертикальные).\]
\[Значит:\]
\[AB = CE;\ \]
\[\angle ABM = \angle MEC.\]
\[3)\ AB = CE\ и\]
\[BC > AB \Longrightarrow BC > CE.\]
\[4)\ Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}\text{BCE.}\]
\[\ \angle MBC\ лежит\ против\ \text{CE\ }и\ \]
\[\angle ABC\ лежит\ против\ BC,\]
\[BC > CE \Longrightarrow \ \angle BEC > \angle MBC\ и\ \]
\[\angle BEC = \angle ABM.\]
\[Отсюда:\ \]
\[\angle ABM > \angle MBC.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{343.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Дано:\]
\[окружность\ (O;r);\]
\[a - прямая.\]
\[Доказать:\]
\[r\bot a.\]
\[Доказательство.\]
\[Пусть\ расстояние\ от\ центра\ O\ \]
\[окружности\ до\ прямой\ а\ равно\ \]
\[радиусу\ r\ окружности.\ \]
\[Опустим\ из\ центра\ O\ \]
\[перпендикуляр\ OA\ на\ эту\ \]
\[прямую:\]
\[OA = r.\]
\[Для\ любой\ другой\ точки\ C\ \]
\[на\ прямой\ a\ наклонная\ OC\ \]
\[будет\ больше\ \]
\[перпендикуляра\ OA\ и,\ \]
\[следовательно,\ больше\ r.\ \]
\[Таким\ образом,\ расстояние\ \]
\[от\ любой\ точки\ прямой\ a,\ \]
\[отличной\ от\ A,\ до\ центра\ O\ \]
\[больше\ r.\ \]
\[Значит,\ прямая\ a\ и\ окружность\ \]
\[имеют\ одну\ общую\ точку\ A,\ \]
\[т.\ е.\ прямая\ касается\ \]
\[окружности.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]