\[\boxed{\mathbf{342.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\]
\[AM - медиана;\]
\[AM - биссектриса.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC - равнобедренный.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[Биссектриса - это\ множество\ \]
\[точек\ равноудаленных\ от\ \]
\[сторон\ угла.\]
\[1)\ AM = MC\ \]
\[(так\ как\ AM - медиана):\]
\[каждая\ точка\ \text{BM\ }\]
\[равноудалена\ от\ точек\ \text{A\ }и\ C,\]
\[следовательно,\ BM -\]
\[серединный\ перендикуляр\ \]
\[отрезка\ AC.\]
\[Отсюда:\ \]
\[BM\bot AC.\]
\[2)\ Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}\text{ABM\ }и\ \mathrm{\Delta}BMC -\]
\[прямоугольные:\]
\[AM = MC\ и\ BM - общий\ катет;\]
\[\angle ABM = \angle BMC\ \]
\[(по\ двум\ катетам)\text{.\ }\]
\[Отсюда:\]
\[AB = BC\ \]
\[(по\ свойству\ равных\ фигур).\]
\[3)\ AB = BC:\]
\[\mathrm{\Delta}ABC - равнобедренный.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{342.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Дано:\]
\[окружность\ (O;R);\]
\[\text{AB};\text{CD} - хорды;\]
\[OF\bot AB;\ \ OK\bot CD;\]
\[OF = OK = R.\]
\[Доказать:\]
\[AB = CD.\]
\[Доказательство.\]
\[1)\ Соединим\ центр\ окружности\ \]
\[с\ концами\ хорд,\ получим\ \]
\[треугольники\ \text{COD\ }и\ \text{AOB}.\]
\[2)\ ⊿OKD = ⊿OFB -\]
\[прямоугольные,\ по\ катету\ \]
\[и\ гипотенузе:\]
\[OF = OK - по\ условию;\]
\[OD = OB = R.\]
\[Отсюда:\]
\[KD = FB.\]
\[3)\ ⊿AOB;\ \]
\[⊿COD - равнобедренные:\]
\[OA = OB = OC = OD = R.\]
\[AB;CD - основания;\]
\[OK;OF - высоты,\ медианы\ \]
\[и\ биссектрисы.\]
\[Отсюда:\]
\[AF = BF;\ \ CK = DK.\]
\[4)\ Получаем:\]
\[AB = CD.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]