\[\boxed{\mathbf{321.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Дано:\]
\[\angle A = 90{^\circ}.\]
\[Построить:\]
\[на\ стороне\ \text{AB\ }точку\ \text{M\ }\]
\[равноудаленную\ от\ \text{A\ }и\ \text{BC.}\]
\[Построение.\]
\[1)\ Отложим\ отрезок\ \text{CH\ }на\ \]
\[стороне\ \text{BC\ }равный\ стороне\ \text{AC.}\]
\[2)\ Построим\ серединный\ \]
\[перпендикуляр\ к\ отрезку\ \text{AH.}\]
\[3)\ На\ пересечении\ \]
\[серединного\ перпендикуляра\ \]
\[и\ стороны\ AB\ отметим\ \]
\[точку\ M - искомую.\]
\[\boxed{\mathbf{321.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\]
\[M \in BC;\]
\[AC > AB.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[AM < AC.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ AC > AB\ (по\ условию),\ поэтому\ в\ в\ \mathrm{\Delta}ABC:\ \]
\[\angle B > \angle C\ (так\ как\ напротив\ большей\ стороны\ лежит\ больший\ угол).\]
\[2)\ \angle AMC - внешний\ к\ треугольнику\ ABM:\]
\[\angle AMC = \angle B + \angle BAM;\ \]
\[\angle B > \angle C.\]
\[Отсюда:\]
\[\angle AMC > \angle C\]
\[Следовательно\ в\ \mathrm{\Delta}AMC:\]
\[AM < AC\]
\[(так\ как\ напротив\ большего\ угла\ лежит\ большая\ сторона).\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]