\[\boxed{\mathbf{1427.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Решение.\]
\[Так\ как\ ⊿ABC -\]
\[равносторонний:\]
\[\angle A = \angle B = \angle C = 60{^\circ}.\]
\[Стороны\ вписанного\ \]
\[треугольника\ \]
\[перпендикулярны\ сторонам\]
\[исходного:\]
\[ON\bot AC;\]
\[NP\bot BC;\]
\[NO\bot AB.\]
\[Образуются\ прямоугольные\ \]
\[треугольники:\]
\[⊿ANO;\ \ ⊿OBP;\ \ ⊿NPC.\]
\[Так\ как\ углы\ исходного\ \]
\[треугольника = 60{^\circ}:\]
\[\angle AON = 90{^\circ} - 60{^\circ} = 30{^\circ};\]
\[\angle CNP = 90{^\circ} - 60{^\circ} = 30{^\circ};\]
\[\angle OPB = 90{^\circ} - 60{^\circ} = 30{^\circ}.\]
\[Катет,\ противолежащий\ \]
\[углу\ 30{^\circ},\ равен\ половине\ \]
\[гипотенузы:\]
\[AN = \frac{\text{AO}}{2};\]
\[PC = \frac{\text{NC}}{2};\]
\[OB = \frac{\text{BP}}{2}.\]
\[Все\ эти\ прямоугольные\ \]
\[треугольники\ равны\ по\ двум\ \]
\[углам\ и\ катету.\]
\[Отсюда:\]
\[OP = NO = NP - вписанный\ \]
\[треугольник\ равносторонний.\]
\[Так\ как\ AN = OB:\]
\[OB = \frac{\text{AO}}{2};\]
\[AO = 2x;\ \ OB = x.\]
\[Вершины\ вписанного\ \]
\[треугольника\ делят\ сторону\ \]
\[исходного\ в\ отношении\ 2\ :1.\]