\[\boxed{\mathbf{1424.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\mathbf{Построение.}\]
\[\mathbf{Превратим\ предложенную\ }\]
\[\mathbf{задачу\ в\ обратную.}\]
\[\mathbf{Обратная\ задача.\ Около\ }\]
\[\mathbf{квадрата\ описать\ сектор,\ }\]
\[\mathbf{подобный\ данному,\ причем\ }\]
\[\mathbf{так,\ чтобы\ дуга\ сектора\ }\]
\[\mathbf{прошла\ через\ две\ вершины\ }\]
\[\mathbf{квадрата,\ а\ боковые\ стороны\ }\]
\[\mathbf{сектора\ —\ через\ третью\ }\]
\[\mathbf{и\ четвертую\ вершины\ }\]
\[\mathbf{квадрата.}\]
\[Построение,\ относящееся\ \]
\[к\ обратной\ задаче.\]
\[1)\ Строим\ любой\ квадрат\ \]
\[\text{KLMN.}\]
\[2)\ Проводим\ прямую\ P_{1}F_{2}\ \]
\[через\ середины\ двух\ \]
\[противоположных\ сторон\ \]
\[квадрата\ \text{KL\ }и\ \text{MN.}\]
\[3)\ Через\ точки\ \text{K\ }проводим\ \]
\[прямую\ K_{1}K_{2},\ образующую\ \]
\[с\ прямой\ P_{1}F_{2}\ угол\ KPF_{2} =\]
\[= половине\ угла\ данного\ \]
\[сектора:\]
\[\angle KPF_{2} = \frac{1}{2}\angle AOB.\]
\[4)\ Проводим\ прямую\ L_{1}L_{2}\ \]
\[через\ точки\ \text{P\ }и\ \text{L.}\]
\[5)\ Около\ точки\ \text{P\ }радиусом =\]
\[= PN\ чертим\ дугу\ \text{ST},\ между\ \]
\[сторонами\ \angle K_{2}PL_{2}.\]
\[Сектор\ \text{PST\ }подобен\ сектору\ \]
\[\text{AOB\ }и\ описан\ около\ квадрата.\]
\[Чтобы\ перейти\ к\ решению\ \]
\[прямой\ задачи,\ рассуждаем\ \]
\[так:\ \]
\[в\ каком\ отношении\ точка\ L\ \]
\[рассекает\ сторону\ PT\ сектора\ \]
\[PST,\ в\ таком\ же\ отношении\ \]
\[вершина\ C\ квадрата,\ \]
\[вписанного\ в\ сектор\ OAB,\ \]
\[рассечет\ сторону\ OB.\]
\[Построение\ в\ прямой\ задаче.\]
\[1)\ Сторону\ \text{OB\ }данного\ \]
\[сектора\ делим\ в\ отношении\ \]
\[PL\ :LT;то\ есть\ находим\ \]
\[такую\ точку\ C,\ чтобы:\]
\[OC\ :OB = PL\ :LT.\]
\[2)\ Из\ точки\ \text{O\ }радиусом,\ \]
\[равным\ отрезку\ \text{OC},\ делаем\ \]
\[засечку\ \text{D.}\]
\[3)\ Соединив\ точки\ \text{C\ }и\ \text{D\ }\]
\[получим\ сторону\ квадрата,\ \]
\[вписанного\ в\ сектор\ \text{OAB.}\]
\[4)\ На\ стороне\ \text{CD\ }построим\ \]
\[искомый\ квадрат\ \text{CDEF.}\]