\[\boxed{\mathbf{1359.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\mathbf{Схематический\ рисунок.}\]
\[\mathbf{Построение.}\]
\[При\ гомотетии\ с\ центром\ P\ и\ \]
\[k = \frac{1}{2}\ данная\ окружность\ \]
\[перейдет\ в\ окружность\ с\ d = OM.\]
\[N - точка\ пересечения\ этой\]
\[окружности\ с\ \text{AB};N - образ\ \]
\[некоторой\ точки\ K\ данной\ \]
\[окружности.\]
\[Значит:\]
\[PN = \frac{1}{2}PK;\ \]
\[N - середина\ \text{KP.}\]
\[Задача\ имеет\ два\ решения,\ если\]
\[окружность\ с\ d = OP\ имеет\ две\]
\[общие\ точки\ с\ данной;\]
\[одно\ решение - если\ одна\ \]
\[\mathbf{общая\ точка;}\]
\[\mathbf{нет\ решений - если\ нет\ общих}\]
\[\mathbf{точек.}\]