\[\boxed{\mathbf{1358.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\mathbf{Схематический\ рисунок.}\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[Проведем\ диагонали\ трапеции:\]
\[Q - точка\ их\ пересечения\ и\ \]
\[центр\ гомотетии.\]
\[При\ гомотетии\ с\ центром\ в\ \]
\[точке\ Q\ пересечения\ диагоналей,\ \ \ \]
\[переводящей\ вершину\ \text{B\ }трапеции\]
\[в\ вершину\ D,\ точка\ \text{C\ }переходит\]
\[в\ точку\ A;основание\ \text{BC} - в\ \]
\[основание\ \text{DA},\ середина\ \text{M\ }\]
\[основания\ BC - в\ середину\ N\]
\[основания\ DA.\]
\[Следовательно,\ прямая\ MN\ \]
\[проходит\ черз\ центр\ \]
\[гомотетии,\ точку\ O.\]
\[Аналогично:\]
\[прямая\ \text{MN\ }проходит\ через\]
\[точку\ пересечения\ прямых\]
\[AB\ и\ \text{DC.}\]
\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]