\[\boxed{\mathbf{1357.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\mathbf{Схематический\ рисунок.}\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[По\ свойству\ медиан,\ точка\ их\ \]
\[пересечения\ делит\ медианы\ в\ \]
\[отношении\ 2\ :1,\ начиная\ от\ \]
\[вершины.\]
\[При\ гомотетии\ с\ центром\ в\ \]
\[точке\ M,\ вершины\ этого\ \mathrm{\Delta}\]
\[переходят\ в\ середины\ \]
\[противоположных\ сторон.\]
\[AM = R - описанной\ \]
\[окружности\ около\ \mathrm{\Delta}ABC;\]
\[MA_{1} = r - описанной\ \]
\[окружности\ около\ \mathrm{\Delta}A_{1}B_{1}C_{1}\text{.\ }\]
\[Отсюда:\]
\[MA_{1} = \frac{1}{2}\text{AM}\]
\[AM = 2MA_{1}.\]
\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]