\[\boxed{\mathbf{1346.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Дано:\]
\[AC = 32\ см;\]
\[AB = 24\ см;\]
\[AM\ :MN = 4\ :3.\]
\[Найти:\]
\[AM = NP;\]
\[MN = AP.\]
\[Решение.\]
\[Если\ в\ треугольник\ вписан\ \]
\[параллелограмм\ таким\ \]
\[образом,\ что\ один\ угол\ у\ них\ \]
\[общий,\ а\ три\ другие\ вершины\ \]
\[параллелограмма\ лежат\ на\ \]
\[сторонах\ треугольника,\ то\ \]
\[параллелограмм\ отсекает\ два\ \]
\[треугольника,\ подобных\ \]
\[данному.\]
\[MN \parallel AC:\]
\[⊿ABC\ подобен\ ⊿MBN.\]
\[Отсюда:\]
\[\frac{\text{BM}}{\text{AB}} = \frac{\text{MN}}{\text{AC}}.\]
\[1)\ Пусть\ AM = 4x;\ \ MN = 3x.\]
\[BM = AB - AM = (24 - 4x).\]
\[Получаем\ уравнение:\]
\[\frac{24 - 4x}{24} = \frac{3x}{32}\ \ \ \ | \cdot 96\]
\[4 \cdot (24 - 4x) = 3 \cdot 3x\]
\[96 - 16x = 9x\]
\[25x = 96\]
\[x = \frac{96}{25} = \frac{384}{100} = 3,84.\]
\[4x = 3,84 \cdot 4 = 15,36\ см - AM.\]
\[3x = 3,84 \cdot 3 = 11,52\ см - \text{MN.}\]
\[2)\ Пусть\ AM = 3x;\ \ MN = 4x.\]
\[BM = AB - AM = (24 - 3x).\]
\[Получаем\ уравнение:\]
\[\frac{24 - 3x}{24} = \frac{4x}{32}\ \ \ \ \ \ | \cdot 96\]
\[4 \cdot (24 - 3x) = 3 \cdot 4x\]
\[96 - 12x = 12x\]
\[24x = 96\]
\[x = 4.\]
\[4x = 16\ (см) - \text{AM.}\]
\[3x = 12\ (см) - \text{MN.}\]
\[Ответ:12\ см\ и\ 16\ см;\ \ \]
\[или\ 15,36\ см\ и\ 11,52\ см.\]