\[\boxed{\mathbf{1310.ОК\ ГДЗ - домашка\ н}а\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ \mathbf{задачи:}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[EABC - правильная\ пирамида;\]
\[AD = a;\]
\[\angle AED = \alpha;\]
\[E \in PQ;\]
\[PQ \parallel AD.\]
\[\mathbf{Найти:}\]
\[объем\ тела\ вращения - ?\]
\[\mathbf{Решение.}\]
\[1)\ Тело\ вращения - это\ \]
\[цилиндр\ C(R,\ H):\]
\[R = PA,\ H = a.\ \]
\[Из\ которого\ вырезаны\ два\ \]
\[конуса\ \mathcal{K}(r;\ h):\]
\[\ r = PM;\ \ h = \frac{a}{2}.\]
\[2)\ Апофема\ из\ \mathrm{\Delta}AEB:\ \]
\[EM = \frac{1}{2}AD \cdot ctg\frac{a}{2} = \frac{a}{2} \cdot ctg\frac{a}{2}.\]
\[3)\ Апофема\ пирамиды\ является\ \]
\[образующей\ конуса.\]
\[Высота\ пирамиды\ \]
\[(радиус\ конуса):\]
\[r = EO = PM = \sqrt{EM^{2} -}MO^{2} =\]
\[= \sqrt{\left( \frac{a}{2} \cdot ctg\frac{a}{2} \right)^{2} - \left( \frac{a}{2} \right)^{2}} =\]
\[= \frac{a}{2}\sqrt{\text{ct}g^{2}\frac{a}{2} - 1}.\]
\[4)\ R = PA = EM = \frac{a}{2} \cdot ctg\frac{a}{2}.\]
\[5)\ V = V_{c} - 2V_{\mathcal{K}} =\]
\[= \pi R^{2}a - 2 \cdot \frac{1}{3}\pi r^{2} \cdot \frac{a}{2} =\]
\[= \pi a\left( R^{2} - \frac{r^{2}}{3} \right) =\]
\[= \frac{\pi a^{3}}{12}\left( 2ctg^{2}\frac{a}{2} + 1 \right)\]
\[Ответ:\ V = \frac{\pi a^{3}}{12}\left( 2ctg^{2}\frac{a}{2} + 1 \right).\]
\[\boxed{\mathbf{1310.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\textbf{а)}\ k = 3:\]
\[\textbf{б)}\ k = - 2:\]
\[k = 1:\]
\[k = \frac{1}{3}:\]