\[\boxed{\mathbf{1281.ОК\ ГДЗ - домашка\ н}а\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[Дано:\]
\[правильный\ пятиугольник\ \]
\[A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5};\]
\[O(O,\ R) - описанная\ \]
\[окружность;\]
\[A,\ B,\ C - середины\ сторон\ \]
\[A_{1}A_{2};A_{2}A_{3}\ и\ A_{3}A_{4};\]
\[\ \left( O_{1},r \right) - вписанная\ в\ \mathrm{\Delta}ABC -\]
\[окружность.\]
\[Доказать:\]
\[осевая\ симметрия\ O\overset{\text{AC}}{\rightarrow}O_{1}.\]
\[Доказательство.\]
\[1)\ Обозначим\ сторону\ \]
\[пятиугольника\ A_{1}A_{2} = a.\]
\[2)\ \mathrm{\Delta}ABC - равнобедренный\ с\ \]
\[основанием\ AC:\]
\[\angle ABC = 180^{0} - 2\angle A_{2}BA =\]
\[= 180^{0} - \left( 180^{0} - 108^{0} \right) = 108^{0};\]
\[\angle BAC = \angle BCA =\]
\[= \frac{180^{0} - 108^{0}}{2} = 36^{0}.\]
\[3)\ Проведем\ отрезок\ BA_{5},\ \]
\[отметим\ точку\ пересечения\ \]
\[M = BA_{5} \cap AC.\]
\[4)\ \mathrm{\Delta}A_{2}A_{5}A_{3} - равнобедренный,\ \]
\[с\ основанием\ A_{2}A_{3}:\ \]
\[BA_{5} - медиана,\ биссектриса\ и\ \]
\[высота;\]
\[\text{BM} - медиана,\ биссектриса\ и\ \]
\[высота\ \mathrm{\Delta}ABC.\]
\[5)\ Оба\ центра\ окружностей\ \]
\[лежат\ на\ BA_{5}:\]
\[O \in BA_{5},\ O_{1} \in BA_{5}.\]
\[Через\ O_{1}\ подходит\ \]
\[биссектриса\ AN:\]
\[\angle O_{1}AC = \frac{\frac{1}{2}}{\text{BAC}} = 18^{0}.\]
\[\angle AOB = \angle A_{1}OA_{2} = \frac{360^{0}}{5} = 72^{0};\ \ \]
\[\angle AO_{1}M = 90^{0} - \angle O_{1}AC = 72^{0}.\]
\[6)\ \mathrm{\Delta}O_{1}AO - равнобедренный,\ \]
\[с\ основанием\ O_{1}O:\]
\[AM - медиана,биссектриса,\ \]
\[высота\ \overset{M \in AC}{\Rightarrow}AC - ось\ \]
\[симметрии.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]