\[\boxed{\mathbf{1280.ОК\ ГДЗ - домашка\ н}а\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[окружность\ (O;R);\]
\[OA = OB = R;\]
\[\angle AOB = 90{^\circ};\]
\[C \in OB;\ \]
\[CB = CO = \frac{1}{2}R;\]
\[O_{1}\left( C;\frac{R}{2} \right);\ \]
\[K = O_{1} \cap AC.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[AK = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}\text{R.}\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ По\ теореме\ Пифагора\ \]
\[(из\ \mathrm{\Delta}AOC):\]
\[AC^{2} = R^{2} + \left( \frac{R}{2} \right)^{2} = \frac{5R^{2}}{4}.\]
\[2)\ AK = AC - KC = \sqrt{\frac{5R^{2}}{4}} - \frac{R}{2} =\]
\[= \frac{R\sqrt{5}}{2} - \frac{R}{2} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}\text{R.}\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]