Решебник по геометрии 7 класс Атанасян ФГОС Задание 1279

Авторы:
Год:2020-2021-2022
Тип:учебник

Задание 1279

Выбери издание
Геометрия 7 класс Атанасян ФГОС Просвещение
 
Издание 1
Геометрия 7 класс Атанасян ФГОС Просвещение

\[\boxed{\mathbf{1279.ОК\ ГДЗ - домашка\ н}а\ 5}\]

\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]

\[Дано:\]

\[правильный\ 10 - угольник;\ \]

\[AC - биссектриса\ \angle OAB;\]

\[O(O;\ R) - описанная\ \]

\[окружность.\]

\[\textbf{а)}\ Доказать:\ \]

\[\mathrm{\Delta}ABC\sim\mathrm{\Delta}OAB.\]

\[Доказательство.\]

\[\mathrm{\Delta}OAB - равнобедренный,\]

\[с\ основанием\ AB:\]

\[OA = OB = R.\]

\[Угол\ при\ вершине:\ \]

\[\angle AOB = \frac{360{^\circ}}{10} = 36{^\circ}.\ \]

\[Углы\ при\ основаниях:\]

\[\angle BAO = \angle ABO =\]

\[= \frac{180{^\circ} - \angle AOB}{2} = \frac{180{^\circ} - 36{^\circ}}{2} =\]

\[= 72{^\circ};\]

\[\angle BAC = \angle CAO = \frac{1}{2}\angle BAO =\]

\[= \frac{1}{2} \cdot 72{^\circ} = 36{^\circ}.\]

\[В\ \mathrm{\Delta}CAO:\]

\[\angle CAO = \angle COA = 36{^\circ};\]

\[\angle ACB = 2 \cdot 36{^\circ} = 72{^\circ}.\]

\[В\ \mathrm{\Delta}ABC:\]

\[\angle BAC = 36{^\circ};\]

\[\angle ACB = 72{^\circ};\ \]

\[\angle ABC = 180{^\circ} - (36{^\circ} + 72{^\circ}) =\]

\[= 72{^\circ}.\]

\[\left. \ \begin{matrix} \angle ABC = \angle OAB = 72{^\circ} \\ \angle BAC = \angle AOB = 36{^\circ} \\ \end{matrix} \right\} \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow \mathrm{\Delta}ABC\sim\mathrm{\Delta}OAB - по\ двум\ \]

\[углам.\ \]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[\textbf{б)}\ Доказать:\]

\[AB = AC = OC = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}\text{R.}\]

\[Доказательство.\]

\[\mathrm{\Delta}ABC - равнобедренный \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow AB = AC.\]

\[\mathrm{\Delta}ACO - равнобедренный\ \Longrightarrow \ \]

\[\Longrightarrow AC = OC.\]

\[По\ свойству\ биссектрисы:\]

\[\frac{\text{AB}}{\text{AO}} = \frac{\text{BC}}{\text{CO}}.\]

\[Пусть\ AB = x;\ AO = R:\]

\[BC = R - x;\ \]

\[CO = x.\]

\[\frac{x}{R} = \frac{R - x}{x}\ \]

\[x^{2} = R^{2} - Rx\]

\[x^{2}Rx - R^{2} = 0\]

\[D = R^{2} + 4R^{2} = 5R^{2}\]

\[x = \frac{- R \pm \sqrt{5R}}{2}\ (x > 0);\]

\[x = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}\text{R.\ }\]

\[AB = AC = OC = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}\text{R.}\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

Скачать ответ
Есть ошибка? Сообщи нам!

Решебники по другим предметам