\[\boxed{\mathbf{1265.ОК\ ГДЗ - домашка\ н}а\ 5}\]
\[Дано:\]
\[точки\ A,\ B,\ C\ числа\ a,\ \beta,\ \gamma;\]
\[\text{aA}M^{2} + \beta BM^{2} + \gamma CM^{2} = k =\]
\[= const.\]
\[Найти:\ \]
\[\left\{ M \right\},\ если\ \]
\[a)\ a + \beta + \gamma \neq 0;\]
\[\textbf{б)}\ a + \beta + \gamma = 0.\]
\[Решение.\]
\[Пусть\ AB = b.\]
\[Выберем\ СК\ так,\ что\ A(0;0),\ \]
\[B(b;0),\ C(c,\ g).\]
\[Пусть\ M\ (x,\ y).\ Квадраты\ \]
\[расстояний:\]
\[AM^{2} = x^{2} + y^{2};\ \ \]
\[BM^{2} = (x - b)^{2} + y^{2};\ \ \]
\[CM^{2} = (x - c)^{2} + (y - d)^{2}.\]
\[Сумма:\]
\[\text{aA}M^{2} + \beta BM^{2} + \gamma CM^{2} =\]
\[\textbf{а)}\ a + \beta + \gamma \neq 0:\]
\[Если\ Z > 0 \Longrightarrow уравнение\ \]
\[соответствует\ окружности.\]
\[Если\ Z = 0 \Longrightarrow уравнение\ \]
\[соответствует\ точке.\]
\[Если\ Z < 0 \Longrightarrow \ ни\ одна\ точка\ \]
\[(x,\ y)\ не\ может\ быть\ решением,\]
\[то\ есть\ имеет\ пустое\ \]
\[множество.\]
\[\textbf{б)}\ a + \beta + \gamma = 0:\]
\[Px + Qy + R = 0\]
\[Если\ P\ и\ Q\ не\ равны\ нулю\ \]
\[одновременно \Longrightarrow уравнение\ \]
\[соответствует\ прямой.\]
\[Если\ \ P = Q = 0,\ R \neq 0 \Longrightarrow \ \]
\[\Longrightarrow пустое\ множество.\]
\[Если\ P = Q = R = 0 \Longrightarrow любая\ \]
\[точка\ плоскости\ \]
\[удовлетворяет\ уравнению - \ \]
\[получаем\ всю\ плоскость.\]
\[Ответ:\ \ а)\ окружность,\ точка\ \]
\[или\ пустое\ множество,\]
\[\textbf{б)}\ прямая,\ пустое\ множество\ \]
\[или\ вся\ плоскость.\]