\[\boxed{\mathbf{1249.ОК\ ГДЗ - домашка\ н}а\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[конус\ (r,h);\]
\[h = 12\ см;\]
\[V = 324\pi\ см^{3}.\]
\[\mathbf{Найти:}\]
\[\beta\ развертки.\]
\[\mathbf{Решение.}\]
\[1)\ C = 2\pi r = \frac{\beta}{360{^\circ}} \cdot 2\pi l\]
\[r = \frac{\beta}{360{^\circ}}l\]
\[\beta = \frac{r}{l} \cdot 360{^\circ}.\]
\[2)\ Найдем\ радиус:\]
\[V = \frac{1}{3} \cdot \pi r^{2}h\]
\[r = \sqrt{\frac{3V}{\text{πh}}}\]
\[r = \sqrt{\frac{3 \cdot 324\pi}{\pi \cdot 12}} = \sqrt{81} = 9\ см.\]
\[3)\ Длина\ образующей:\]
\[l = \sqrt{r^{2} + h^{2}} = \sqrt{9^{2} + 12^{2}} =\]
\[= 3\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 3 \cdot 5 = 15\ см.\]
\[4)\ Угол\ развертки:\]
\[\beta = \frac{r}{l} \cdot 360{^\circ} = \frac{9}{15} \cdot 360{^\circ} =\]
\[= \frac{3}{5} \cdot 360{^\circ} = 216{^\circ}.\]
\[Ответ:\beta = 216{^\circ}.\]