\[\boxed{\mathbf{1205.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[MABC - пирамида;\]
\[ME,\ MF,\ MK - апофемы.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[ME = MF = MK.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Так\ как\ пирамида -\]
\[правильная,\ то\ все\ боковые\ \]
\[стороны - равные\ \]
\[равнобедренные\ \]
\[треугольники:\]
\[MA = MB = MC\ и\ \]
\[AB = BC = AC.\]
\[2)\ ME = MF = MK\ (как\ высоты\ \]
\[равных\ равнобедренных\ \]
\[треугольников).\]
\[3)\ Точка\ O - центр\ вписанной\ \]
\[(и\ описанной)\ окружности:\]
\[OE = OF = OK = r;\ \]
\[MO - общая\ высота.\]
\[Значит:\ \]
\[\mathrm{\Delta}MOE = \mathrm{\Delta}MOF = \mathrm{\Delta}MOK\ \]
\[(по\ двум\ катетам).\]
\[Отсюда:\ \]
\[ME = MF = MK.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]