\[\boxed{\mathbf{1180.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\mathrm{\Delta}A_{1}B_{1}C_{1} - вписанные,\ \]
\[равносторонние.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[AA_{1} \cap BB_{1} \cap \cap CC_{1} = O\ или\ \]
\[образуют\ равносторонний\ \]
\[треугольник.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Рассмотрим\ поворот\ вокруг\ \]
\[точки\ O\ на\ 120{^\circ},\ при\ котором\ \]
\[вершина\ \text{A\ }отображается\ на\ \]
\[вершину\ \text{B.\ }\]
\[При\ этом\ повороте\ вершина\ \text{B\ }\]
\[отображается\ на\ вершину\ C,\]
\[а\ вершина\ C - в\ вершину\ \text{A.}\]
\[2)\ Кроме\ того,\ вершина\ A_{1}\ \]
\[отображается\ на\ вершину\ B_{1},\ \ \]
\[а\ значит,\ прямая\ AA_{1}\ \]
\[отображается\ на\ BB_{1}\text{.\ }\]
\[Аналогично\ прямая\ BB_{1}\ \]
\[отображается\ на\ CC_{1},\ а\ CC_{1}\ на\ \]
\[AA_{1}\text{.\ }\]
\[3)\ Если\ прямая\ AA_{1}\ проходит\ \]
\[через\ центр\ O,\ то\ и\ BB_{1},\ CC_{1}\]
\[также\ проходят\ через\ точку\ \text{O\ }\]
\[(рисунок\ а).\]
\[4)\ Если\ же\ прямая\ AA_{1}\ не\ \]
\[проходит\ через\ точку\ O,\ то\ и\ \]
\[BB_{1}\ не\ проходит\ через\ точку\ \text{O.\ }\]
\[В\ таком\ случае\ прямые\ AA_{1}\ и\ \]
\[BB_{1}\ при\ пересечении\ образуют\ \]
\[угол\ в\ 60{^\circ}.\]
\[Аналогично\ и\ для\ прямых\ BB_{1}\ \]
\[и\ CC_{1};CC_{1}\ и\ AA_{1}.\]
\[5)\ Значит,\ прямые\ AA_{1},\ BB_{1}\ и\ \]
\[CC_{1}\ при\ пересечении\ образуют\ \]
\[равносторониий\ треугольник.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]