\[\boxed{\mathbf{1178.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[ABCD - параллелограмм;\]
\[AA_{1}B_{1}B;DD_{1}C_{1}C - квадраты;\]
\[\text{O\ }и\ O_{1} - центры\ квадратов.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[OO_{1} = AD;\]
\[OO_{1} \parallel AD.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Рассмотрим\ параллельный\ \]
\[перенос\ на\ вектор\ \overrightarrow{\text{AD}}:\]
\[AA_{1}B_{1}\text{B\ }и\ DD_{1}C_{1}C - квадраты;\ \]
\[AB = DC\ \]
\[(по\ свойству\ параллелограмма).\]
\[Значит:\ \]
\[AA_{1}B_{1}B = DD_{1}C_{1}\text{C.}\]
\[2)\ AA_{1} = DD_{1}\ и\ AA_{1} \parallel DD_{1}:\]
\[AA_{1}D_{1}D - параллелограмм.\]
\[3)\ \overrightarrow{A_{1}D_{1}} = \overrightarrow{\text{AD}} = \overrightarrow{\text{BC}}:\]
\[A_{1}D_{1}CB - параллелограмм.\]
\[4)\ O\ и\ O_{1} - середины\ A_{1}\text{B\ }и\ \]
\[D_{1}\text{C\ }(по\ условию);\]
\[A_{1}B = D_{1}C \Longrightarrow \overrightarrow{OO_{1}} = \overrightarrow{\text{BC}} = \overrightarrow{\text{AD}}.\]
\[Значит:\ \]
\[\text{ADO}O_{1} - параллелограмм \Longrightarrow \ \]
\[\Longrightarrow OO_{1} = AD\ и\ OO_{1} \parallel AD.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]