\[\boxed{\mathbf{1177.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\]
\[AA_{1} \cap BB_{1} \cap CC_{1} = M;\]
\[A_{2},\ B_{2},\ C_{2} - середины\ AM,\ BM,\]
\[\text{CM.}\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[\mathrm{\Delta}A_{1}B_{1}C_{1} = \mathrm{\Delta}A_{2}B_{2}C_{2}.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ M - точка\ пересечения\ \]
\[медиан\ \mathrm{\Delta}ABC:\]
\[AM = 2MA_{1} \Longrightarrow MA_{1} = MA_{2}\ \]
\[\left( так\ как\ A_{2} - середина\ отрезка\ AM \right);\]
\[A_{1}\ и\ A_{2} - симметричны\ \]
\[относительно\ точки\ \text{M.}\]
\[2)\ То\ же\ справедливо\ и\ для\ \]
\[точек\ B_{1}\ и\ B_{2};C_{1}\ и\ C_{2}.\]
\[3)\ Рассмотрим\ центральную\ \]
\[симметрию\ относительно\ \]
\[точки\ M.\]
\[Точки\ A_{1},B_{1}\ и\ C_{1}\ отображаются\ \]
\[в\ точки\ A_{2},B_{2}\ и\ C_{2}.\]
\[Следовательно:\ \]
\[\mathrm{\Delta}A_{1}B_{1}C_{1}\ отображается\ в\ \]
\[\mathrm{\Delta}A_{2}B_{2}C_{2}.\]
\[Значит:\ \]
\[\mathrm{\Delta}A_{1}B_{1}C_{1} = \mathrm{\Delta}A_{2}B_{2}C_{2}.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]